Mencari beda dalam deret aritmetika

Salah satu bentuk soal matematika yang sering muncul dalam materi deret adalah mencari beda dalam deret aritmetika. Sebagaimana telah diketahui sebuah beda dalam deret aritmetika dapat dicari dengan aturan mencari selisih antara sebuah suku dengan suku sebelumnya, selain itu beda dalam deret aritmetika ( yang berhubungan denga Sn ) juga bisa dicari menggunakan aturan Un = Sn - Sn-1.

Berikut adalah salah satu contoh soal mencari beda yang berhubungan dengan Sn.

Jika jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah Sn = 2n² + 3n, maka beda deretnya adalah ….
a. 2
b. 3
c. 4
d. 5
e. 6
Soal Matematika dasar SPMB tahun 2006

Untuk mengerjakan soal di atas dapat dengan mudah dikerjakan dengan mencari dua buah suku pada deret tersebut, kita misalkan U4 dan U3 kemudian beda dari deret tersebut akan kita dapat dari U4 - U3. Hanya untuk mendapatkan U4 kita harus mencari S4 dan S3 terlebih dahulu sebab U4 = S4 - S3, begitu juga U3 kita harus mencarinya dari S3 - S2. Jadi untuk mengerjakan soal diatas langkah - langkahnya adala sebagai berikut :

1. hitung nilai S2 ( substitusikan n = 2 pada Sn = 2n² + 3n, didapat S2 = 14 )
2. hitung nilai S3 ( substitusikan n = 3 pada Sn = 2n² + 3n, didapat S3 = 27 )
3. hitung nilai S4 ( substitusikan n = 4 pada Sn = 2n² + 3n, didapat S4 = 44 )
4. hitung U4 = S4 - S3 = 44 - 27 = 17
5. hitung U3 = S3 - S2 = 27 - 14 = 13
6. Terakhir anda dapat menentukan nilai (beda) b = U4 - U3 = 17 -13 = 4

Anda bisa mengganti U4 dan U3 misalnya dengan U6 dan U5 atau U5 dan U4, dsb dan akan mendapatkan hasil yang sama. Ada hal yang menarik ketika kita melihat langkah terakhir yaitu b = U4 - U3, kalau kita lihat langkah sebelumnya maka akan didapat persamaan:

b = U4 - U3
b = ( S4 - S3 ) - ( S3 - S2 )
b = S4 - S3 - S3 + S2
b = S4 - 2S3 + S2 atau secara umum didapat b = Sn - 2Sn-1 + Sn-2

Yang menarik adalah ketika kita mengganti U4 dan U3 dengan U2 dan U1 ( dimana U1 = S1*), akan didapat :

b = U2 - U1
b = ( S2 - S1 ) - S1
b = S2 - 2S1

Jika kita menggunakan rumusan yang terakhir ini maka langkah mengerjakan soalnya menjadi sebagai berikut :
1. hitung nilai S1 ( substitusikan n = 1 pada Sn = 2n² + 3n, didapat S1 = 5 )
2. hitung nilai S2 ( substitusikan n = 2 pada Sn = 2n² + 3n, didapat S2 = 14 )
3. b = S2 - 2S1 = 14 - 2(5) = 14 -10 = 4
kalau menggunakan langkah yang kedua ini jadi lebih mudah, iya ngga .

* Catatan :
1. Dalam deret kita memahami bahwa yang dimaksud dengan S3 adalah jumlah 3 suku pertama deret tersebut yaitu U1 + U2 + U3, S2 adalah jumlah 2 suku pertama deret tersebut yaitu U1 + U2, sedangkan S1 adalah jumlah 1 suku pertama deret tersebut yaitu U1 ( S1 = U1 ).
2. Sebenarnya ada 1 cara lagi yang lebih mudah, saya telah membuatkannya untuk anda disini